特殊関数の表記は次の通り：

%J[index](expr) 第1種Bessel関数 %K[index](expr) 第2種Bessel関数 %I[ ]( ) 変形Bessel関数 %HE[ ]( ) エルミート多項式 %P[ ]( ) ルジャンドル関数 %Q[ ]( ) 第2種ルジャンドル関数 HSTRUVE[ ]( ) StruveのH関数 LSTRUVE[ ]( ) " のL関数 %F[ ]([],[],expr) 超幾何関数 GAMMA() Γ関数 GAMMAGREEK() GAMMAINCOMPLETE() SLOMMEL %M[]() 第1種のWhittaker関数 %W[]() 第2種のWhittaker関数
何が出来るかを確認する為には、DEMO(HYPGEO,DEMO,SHARE1);を実行せよ。

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21.4 特殊関数に関する諸定義

関数: AIRY (X): 実引数XのAiry関数Aiを返す。ファイルSHARE1;AIRY FASLにAiry関数Ai(x),Bi(x)とそれらの微分dAi(X),dBi(X)を評価するルーチンが含まれている。AiとBiはAIRY方程式 diff(y(x),x,2)-x*y(x)=0を満すものである。詳細はSHARE;AIRY USAGEを読む事。

関数: ASYMP

- SHARE1ディレクトリにインストールされているFeynman図の漸近的な振舞いを見付けるプログラムのテスト版。より詳細な情報はSHARE1;ASYMP USAGEを見よ(漸近的解析関数に関してはASYMPAを見よ)。

関数: ASYMPA

- 漸近的解析 - ファイルSHARE1;ASYMPA >に漸近的解析向けの簡易化関数があり、そこには広く複素解析や数値解析で用いられているbig-0やlittle-o関数も含まれている。BATCH("asympa.mc");を実行せよ(Feynman図の漸近的振舞いに関してはASYMPを見よ)。

関数: BESSEL (Z,A)

複素数Zと実数A>0に対するBessel関数Jの値を返す。又、配列BESSELARRAYは BESSELARRAY[I]=J[I+A-ENTIER(A)](Z)となる様に設定されている。

関数: BETA (X, Y)

GAMMA(X)*GAMMA(Y)/GAMMA(X+Y)と同じである。

関数: GAMMA (X)

Γ関数。正整数に対してはGAMMA(I)=(I-1)!である。Euler-Macsheroni定数に関しては %GAMMAを見よ。又、MAKEGAMMA関数も見よ。GAMMALIM[1000000](この項参照)はΓ関数の簡易化を制御する。

変数: GAMMALIM

デフォルト値:[1000000] - 整数と有理数引数に対するΓ関数の簡易化を制御する。引数の絶対値がGAMMALIMよりも大きくなければ、簡易化が行われる。FACTLIMスイッチは整数引数のGAMMAの結果の簡易化も同様に制御する事を挙げておく。

関数: INTOPOIS (A)

AをPoissonの符号化(* 訳者注;原文:Poisson encoding,Poisson過程の列？*)に変換する。

関数: MAKEFACT (exp)

expの中の二項係数、Γとβ関数を階乗で置き換える。

関数: MAKEGAMMA (exp)

exp内の二項係数、階乗、β関数をΓ関数で置き換える。

関数: NUMFACTOR (exp)

積の式expから数値の因数を取り出す。ここで、式expは単一項でなければならない。和の中の全ての項のgcdが必要であれば、CONTENT関数が使える。

(C1) GAMMA(7/2); (D1) 15 SQRT(%PI) ------------ 8 (C2) NUMFACTOR(%) 15 (D2) -- 8

関数: OUTOFPOIS (A)

AをPoissonの符号化から一般表現に変換する。AがPoissonの形式で無い場合は変換される、つまり、OUTOFPOIS(INTOPOIS(A))の結果の様なものになる。この関数はSINや COSの様な特定の型の羃乗の和に対し、その様な正規な簡易化を行ったものとなる。

関数: POISDIFF (A, B)

AをBで微分する。Bは三角関数の引数か、係数の中だけに表われるものでなければならない。

関数: POISEXPT (A, B)

B(正の整数)は機能的にINTOPOIS(A**B)と同一である。

関数: POISINT (A, B)

(POISDIFFと似た)制限された積分を行う。Bの非周期的項はBが三角関数の引数に含まれていれば落される。

変数: POISLIM

初期値:[5] - 三角関数の引数にて、係数の領域を定める。初期値の5は内部的に [-2^(5-1)+1,2^(5-1)]、即ち、[-15,16]に関連するが、これを[-2^(n-1)+1,2^(n-1)] に設定可能である。

関数: POISMAP (series, sinfn, cosfn)

与えられたPoisson列のsine項とcosine項に関数sinfnとcosfnを写す。sinfnとcosfnは二つの引数を持つ関数で、数列表現で係数と三角関数項が交互に現われるものである。

関数: POISPLUS (A, B)

INTOPOIS(A+B)と機能的には同一である。

関数: POISSIMP (A)

一般表現AをPoisson列に変換する。

特殊記号: POISSON

- 記号 /P/の後ろにPoisson列表現の行ラベルが続く。

関数: POISSUBST (A, B, C)

Cの中のBにAを代入する。CはPoisson列である。

(1)Bが変数U,V,W,X,Y,又はZであれば、Aはこれらの変数の線型な式(例えば、6*U+4*V) でなければならない。
(2)Bがこれらの変数以外の場合、Aはこれらの変数を含まず、更に、sinやcosを含まないものでなければならない。

POISSUBST(A,B,C,D,N)は代入の特殊な種類で、AとBに対して上の(1)の種類で作用するが、ここでDはPoisson列で、A+DをCの中のBに代入した結果となる様に、COS(D)と SIN(D)をN次まで展開する。この手法ではDが小さな助変数の項で展開されている。例えば、POISSUBST(U,V,COS(V),E,3)はCOS(U)*(1-E^2/2)-SIN(U)*(E-E^3/6)を返す。

関数: POISTIMES (A, B)

機能的にINTOPOIS(A*B)と同一である。

関数: POISTRIM ()

指定された関数名で、Poisson積の間に(利用者が定義していれば)実行される。6個の引数を持つ述語関数であり、その引数は項にあるU,V,..,Zの係数である。(項の係数に対し)POISTRIMがTRUEとなる項は積の間、消去される。

関数: PRINTPOIS (A)

Poisson列を読める形式で出力する。一般的にはOUTOFPOISと使い、必要があれば、 Aを最初にPoisson符号に変換する。

関数: PSI (X)