17. 対称式

17.1 対称式に関する諸定義

17.1 対称式に関する諸定義

関数: COMP2PUI (n, l)

リストlで与えられる完全対称関数を0からnまでの基本対称関数に変換する。 もし、リストlがn+1よりも少ない要素であれば、形式的な変数で補完される。 リストlの先頭の元は、アルファベットの個所が存在するなら、その基数と なり、そうでなければnに等しく設定される。

(C10) ratsimp( COMP2PUI(3,[4,g])); 2 3 (D10) [4, g, 2 H2 - g , 3 H3 - 3 g H2 + g ]

関数: CONT2PART (pc,lvar)

変数がlvarに含まれている縮約した形式pcに対し、多項式の分割を返す。

(C10) pc : 2*a^3*b*x^4*y + x^5$ (C11) CONT2PART(pc,[x,y]); 3 (D11) [[1, 5, 0], [2 a b, 4, 1]] (* 訳者注：本来のマニュアルの記述 pc : 2*a^3*b*x^4*y + x^5$ CONT2PART(pc,[x,y]); 3 [[2 a b, 4, 1], [1, 5]] と分割の表記方法と順番が変更されている。 *)

表現を変更する他の関数は： CONTRACT, EXPLOSE, PART2CONT, PARTPOL, TCONTRACT, TPARTPOL.

関数: CONTRACT (psym,lvar)

多項式psymのlvarに含まれる変数に於ける縮約形式(つまり、対称群の作用による 軌道での同値類)を返す。関数EXPLOSEは逆操作を行う。関数TCONTRACTは多項式の 対称性も検証する。

(C13) psym : EXPLOSE(2*a^3*b*x^4*y,[x,y,z]); 4 4 4 4 4 3 (D13)/R/ ((2 y + 2 z) x + (2 y + 2 z ) x + 2 z y + 2 z y) a b (C14) CONTRACT(psym,[x,y,z]); 4 3 (D14)/R/ 2 y x a b

表現を変更する関数は： CONT2PART, EXPLOSE, PART2CONT, PARTPOL, TCONTRACT, TPARTPOL.

関数: DIRECT ([P1,...,Pn],y,f,[lvar1,...,lvarn])

変数lvar1,...,lvarnのリストで関数fに関連する直像(l'image directe) (M. GIUSTI, D.LAZARDとA. VALIBOUZE,ISSAC 1988,Romeを参照せよ)と 一変数yの多項式P1,...,Pnから計算する。関数fの貧弱さは計算で重要である。 ともあれ、もしfの式が一変数に依存していなければ、それは単に与えられた この変数が無効なだけでは無く、それが事実であるかどうかの計算を相当に 減らす事にもなる。

(C15) DIRECT([z^2 - e1* z + e2, z^2 - f1* z + f2], z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]); 2 1 2 2 2 (D15)/R/ f2 E1 - Y f1 E1 + (f1 - 4 f2) E2 + Y (C16) expand(DIRECT([z^3-e1*z^2+e2*z-e3,z^2 - f1* z + f2], z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]])); 6 5 4 3 2 1 6 5 4 2 4 2 4 2 2 4 (D16) Y - 2 E1 f1 Y - 6 E2 f2 Y + 2 E1 f2 Y + 2 E2 f1 Y + E1 f1 Y 3 3 3 3 3 3 + 9 E3 f1 f2 Y + 5 E1 E2 f1 f2 Y - 2 E1 f1 f2 Y - 2 E3 f1 Y 3 3 2 2 2 2 2 2 4 2 2 - 2 E1 E2 f1 Y + 9 E2 f2 Y - 6 E1 E2 f2 Y + E1 f2 Y 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 - 9 E1 E3 f1 f2 Y - 6 E2 f1 f2 Y + 3 E1 E2 f1 f2 Y + 2 E1 E3 f1 Y 2 4 2 2 2 2 2 2 + E2 f1 Y - 27 E2 E3 f1 f2 Y + 9 E1 E3 f1 f2 Y + 3 E1 E2 f1 f2 Y 3 2 3 2 3 2 3 - E1 E2 f1 f2 Y + 15 E2 E3 f1 f2 Y - 2 E1 E3 f1 f2 Y - E1 E2 f1 f2 Y 5 2 3 3 3 3 3 3 - 2 E2 E3 f1 Y - 27 E3 f2 + 18 E1 E2 E3 f2 - 4 E1 E3 f2 - 4 E2 f2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 + E1 E2 f2 + 27 E3 f1 f2 - 9 E1 E2 E3 f1 f2 + E1 E3 f1 f2 3 2 2 2 4 4 2 6 + E2 f1 f2 - 9 E3 f1 f2 + E1 E2 E3 f1 f2 + E3 f1 (* 訳者注： 原文では、 DIRECT([z^2 - e1* z + e2, z^2 - f1* z + f2], z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]); 2 2 2 z - e1 f1 z - 4 e2 f2 + e1 f2 + e2 f1 DIRECT([z^3-e1*z^2+e2*z-e3,z^2 - f1* z + f2], z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]); 6 5 4 2 4 2 4 Y - 2 E1 F1 Y - 6 E2 F2 Y + 2 E1 F2 Y + 2 E2 F1 Y 2 2 4 + E1 F1 Y 3 3 3 3 3 3 + 9 E3 F1 F2 Y + 5 E1 E2 F1 F2 Y - 2 E1 F1 F2 Y - 2 E3 F1 Y 3 3 2 2 2 2 2 2 4 2 2 - 2 E1 E2 F1 Y + 9 E2 F2 Y - 6 E1 E2 F2 Y + E1 F2 Y 2 2 2 2 2 2 2 2 - 9 E1 E3 F1 F2 Y - 6 E2 F1 F2 Y + 3 E1 E2 F1 F2 Y 4 2 + 2 E1 E3 F1 Y 2 4 2 2 2 2 + E2 F1 Y - 27 E2 E3 F1 F2 Y + 9 E1 E3 F1 F2 Y 2 2 + 3 E1 E2 F1 F2 Y 3 2 3 2 3 - E1 E2 F1 F2 Y + 15 E2 E3 F1 F2 Y - 2 E1 E3 F1 F2 Y 2 3 - E1 E2 F1 F2 Y 5 2 3 3 3 3 - 2 E2 E3 F1 Y - 27 E3 F2 + 18 E1 E2 E3 F2 - 4 E1 E3 F2 3 3 - 4 E2 F2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 + E1 E2 F2 + 27 E3 F1 F2 - 9 E1 E2 E3 F1 F2 + E1 E3 F1 F2 3 2 2 2 4 4 2 6 + E2 F1 F2 - 9 E3 F1 F2 + E1 E2 E3 F1 F2 + E3 F1 *)

根が和a+uとなる多項式を返す。ここでaはz^2^e1*z+e2の根、uはz^2-f1*z+f2の 根である。

(C17) DIRECT([z^2 - e1* z + e2,z^2 - f1* z + f2], z,a+u,[[u],[a]]); 4 3 2 1 2 2 2 2 (D17)/R/ (- Y f1 + f2 + Y ) E1 + ((f1 - 2 Y) E2 - Y f1 + (f2 + 3 Y ) f1 3 2 2 2 2 2 - 2 Y f2 - 2 Y ) E1 + E2 + (f1 - 2 Y f1 - 2 f2 + 2 Y ) E2 + Y f1 3 2 2 4 + (- 2 Y f2 - 2 Y ) f1 + f2 + 2 Y f2 + Y

DIRECTが取り得るフラグは：ELEMENTAIRESとPUISSANCES(デフォルト値)で、 対称式の分解を対称関数か羃乗和関数で計算するかを決める。

SYMの関数でこの関数を利用するのは：

MULTI_ORBIT (ORBITの時), PUI_DIRECT, MULTI_ELEM (ELEMの時), MULTI_PUI (PUIの時), PUI2ELE, ELE2PUI (もし、フラグDIRECTがPUISSANCESであれば)。

関数: ELE2COMP (m , l)

基本対称関数を完全関数に変換する。COMP2ELEとCOMP2PUIに似ている。

基底変更を行う他の関数は：

COMP2ELE, COMP2PUI, ELE2PUI, ELEM, MON2SCHUR, MULTI_ELEM, MULTI_PUI, PUI, PUI2COMP, PUI2ELE, PUIREDUC, SCHUR2COMP.

関数: ELE2POLYNOME (l,z)

リストlに含まれる根の基本対称関数に対応するZの多項式を与える。 l=[n,e1,...,e1]、ここでnは多項式の次数で、eiは第i番の基本対称関数 である。

(C18) ele2polynome([2,e1,e2],z); 2 (D18)/R/ z - E1 z + E2 (C19) polynome2ele(x^7-14*x^5 + 56*x^3 - 56*X + 22,x); (D19)/R/ [7, 0, - 14, 0, 56, 0, 0, 56 X - 22] (C20) ele2polynome( [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22],x); 7 5 3 (D20)/R/ x - 14 x + 56 x - 56 x + 22 (* 訳者注： polynome2eleはele2polynomeの逆で、与えられた多項式をele2polynomeが 受け取れる次数と基本対称関数の組合せのリストに変換する。尚、基本対称 関数と多項式方程式の係数の関係は所謂"解と係数の関係"である。 例えば二次多項式の根をa1,a2とすると、x^2-(a1+a2)*x+a1*a2=x^2-e1*xe2 より、e1=a1+a2,e2=e1*e2の関係がある。最初の例はその事を表現している。 又、最後の二つの例は解と係数の関係を表している。 *)

逆変換は: POLYNOME2ELE(p,z)

参照すべき他の関数は： POLYNOME2ELE, PUI2POLYNOME.

関数: ELE2PUI (m, l)

基本対称関数を完全関数に変換する。COMP2ELEとCOMP2PUIに似ている。

他の基底変換の関数は：

COMP2ELE, COMP2PUI, ELE2COMP, ELEM, MON2SCHUR, MULTI_ELEM, MULTI_PUI, PUI, PUI2COMP, PUI2ELE, PUIREDUC, SCHUR2COMP.

関数: ELEM (ele,sym,lvar)

リストlvarに含まれる変数での対称式symをリストeleに含まれる基本対称関数で 分解する。もし、eleの第一元がアルファベットの部分の基数であれば、多項式 symの次数となる。もし、値がリストeleよりも少なければ、形式的な値として "ei"が追加される。多項式symは異なった三形式で与える事が可能である： 縮約(デフォルト値としてELEMは値1を取る)、分割(ELEMは値3を取る)、 面積(e'tendue)(つまり、多項式そのもの)(ELEMは値2を取る)。 関数PUIはこれと全く同じ使い方をする。

e1で基数3のアルファベットに関しては、第一の基本対称関数は値7を取り、 三変数での縮約形式(これらの変数には依存しない)での対称式を x^4-2*x*yとして基本対称関数で分解すると：

(C21) expand(ELEM([3,7],x^4-2*x*y,[x,y])); 2 (D21) 28 E3 + 2 E2 - 198 E2 + 2401

となる。

他の基底変換の関数は： COMP2ELE, COMP2PUI, ELE2COMP, ELE2PUI, MON2SCHUR, MULTI_ELEM, MULTI_PUI, PUI, PUI2COMP, PUI2ELE, PUIREDUC, SCHUR2COMP.

関数: EXPLOSE (pc,lvar)

縮約した形式のpcに対する対称式を返す。リストlvarは変数を含む。

(C22) EXPLOSE(a*x +1,[x,y,z]); (D22)/R/ a x + (y + z) a + 1 (* 訳者注： 縮約した形式a forme contracte'eとは、対称式に作用する対称群をその形式に 作用させる事で、元の対称式が復元可能なものである。上記の例題の様に縮約 した形式は単項式とは限らない。 更に、リストlvarに含まれる変数に関して対称な式を生成する為、lvarに含ま れなかったものは係数として扱われる。 例えば、 (C23) EXPLOSE(a*x^3*y^2*z*w^5,[x,y,z]); 2 2 3 3 3 2 2 3 3 2 5 (D23)/R/ ((z y + z y) x + (z y + z y) x + (z y + z y ) x) a w (C24) EXPLOSE(a*x^3*y^2*z*w^5,[x,a]); 3 3 5 2 (D24)/R/ (a x + a x) w y z *)

表現を変更する他の関数は： CONTRACT, CONT2PART, PART2CONT, PARTPOL, TCONTRACT, TPARTPOL.

関数: KOSTKA (part1,part2)

P. ESPERETによる評価式)分割part1とpart2に対するkostka数を計算する。

(C25) kostka([3,3,3],[2,2,2,1,1,1]); (D25) 6

関数: LGTREILLIS (n,m)

重みnで長さmの分割を返す。

(C26) LGTREILLIS(4,2); (D26) [[3, 1], [2, 2]] (* 訳者注： 長さ(深さ)kの重み(整数)nの分割とは、整数の列[n1,n2,...,nk]で、 n1+n2+...+nk=n, n1>=n2>=...>=nk>0を満たすものである。 上の例では、深さが2、重みが4の為、n1+n2=4,n1>=n2となるのは 3,1と2,2の組しか無い。 *)

LTREILLIS, TREILLISとTREINATも参照せよ。

関数: LTREILLIS (n,m)

重みがnで長さがm以下の分割のリストを返す。

(C27) ltreillis(4,2); (D27) [[4, 0], [3, 1], [2, 2]] (* 訳者注： この例の様に、重みが4で深さが2以下の分割は、先ず長さが1の場合は4自身。 2の場合はLGTREILLIS(4,2);の結果と同じ3,1と2,2となる。 このLTREILLISで返されるリストの元の長さは全て同じものであり、上の例の 様に、深さが短かいものに関しては0を追加している。 *)

LGTREILLIS, TREILLISとTREINATも参照せよ。

関数: MON2SCHUR (l)

リストlはSchur関数S_lを表現する： ここで、l=[i1,i2,...,iq]で、i1<=i2<=...<=iqとする。 Schur関数S_[i1,i2,...,iq]は無限行列(h_{i-j}) i>=1,j>=1の q成分の行とi1+1,i2+2,...,iq+q番の列で構成される小行列式である。

TREINATとKOSTKA関数が用いる単項式関数で、このSchur関数は記述されている。 その返される形式は変数x1,x2,...で縮約された表現による対称式である。

(C5) mon2schur([1,1,1]); (D5)/R/ X3 X2 X1 (C6) mon2schur([3]); 3 2 (D6)/R/ X1 + X2 X1 + X3 X2 X1 (C7) MON2SCHUR([1,2]); 2 (D7)/R/ X2 X1 + 2 X3 X2 X1

三変数のこの場合には次で与えられる事を意味する：

2 x1 x2 x3 + x1^2 x2 + x2^2 x1 + x1^2 x3 + x3^2 x1 + x2^2 x3 + x3^2 x2

他の基底変更の関数は：

COMP2ELE, COMP2PUI, ELE2COMP, ELE2PUI, ELEM, MULTI_ELEM, MULTI_PUI, PUI, PUI2COMP, PUI2ELE, PUIREDUC, SCHUR2COMP.

関数: MULTI_ELEM (l_elem,multi_pc,l_var)

リストl_varのリストに含まれる変数の群による多変数縮約形式multi_pcの 多変数対称式をl_elemに含まれる基本対称関数の群に分解する。

(C38) MULTI_ELEM([[2,e1,e2],[2,f1,f2]],a*x+a^2+x^3,[[x,y],[a,b]]); 3 2 (D38)/R/ E1 + (- 3 E2 + f1) E1 + f1 - 2 f2

他の基底変更の関数は：

COMP2ELE, COMP2PUI, ELE2COMP, ELE2PUI, ELEM, MON2SCHUR, MULTI_PUI, PUI, PUI2COMP, PUI2ELE, PUIREDUC, SCHUR2COMP.

関数: MULTI_ORBIT (P,[lvar1, lvar2,...,lvarp])

Pはリストlvar1,lvar2,...,lvarpに含まれる変数の集合の多項式である。 この関数はこのp個のリストで表現される変数集合の対称群の積による多項式p への作用による軌道を返す。

(C39) MULTI_ORBIT(a*x+b*y,[[x,y],[a,b]]); (D39)/R/ [b y + x a, a y + b x] (C40) multi_orbit(x+y+2*a,[[x,y],[a,b,c]]); (D40)/R/ [y + x + 2 c, y + x + 2 b, y + x + 2 a] (C41) multi_orbit(x+2*y+3*a,[[x,y],[a,b,c]]); (D41)/R/ [2 y + x + 3 c, 2 y + x + 3 b, 2 y + x + 3 a, y + 2 x + 3 c, y + 2 x + 3 b, 3 a + y + 2 x] (* 訳者注： (C12)の結果は最初の二つが[x,y]の取り換えた場合のx+2*y+3*aの結果。 最後の三つが[a,b,c]の取り換えによる結果である。(C10)の結果から判る様に、 返す値はリスト形式だが実体は集合で、重複する場合は削除されている。 *)

対称群のみの作用によるORBITも参照せよ。

関数: MULTI_PUI

これは関数ELEMに対する関数MULTI_ELEMと同様に関数PUIに対応するものである。

(C42) MULTI_PUI([[2,p1,p2],[2,t1,t2]],a*x+a^2+x^3,[[x,y],[a,b]]); 3 3 P1 P2 - P1 + 2 t1 P1 + 2 t2 (D42)/R/ ------------------------------ 2 (* 訳者注： 原文での計算結果は 3 3 P1 P2 P1 T2 + P1 T1 + ------- - --- 2 2 となっており、原文の誤り。 *)

関数: MULTINOMIAL (r,part)

ここでrは分割partの重みである。この関数は多変数単項式の係数を返す。 もし、分割partの成分がi1,i2,...,ikであれば、MULTINOMIALの結果は r!/(i1!i2!...ik!)である。

関数: MULTSYM (ppart1, ppart2,N)

N次の対称群の作用による剰余で同値類に分類されていないN変数の二つの対称式 の積を計算する。これらの多項式はそれらの分割で表現されている。 例えば、二つのx,yの対称式:3*(x+y) + 2*x*yと5*(x^2+y^2)の分割形式は各々 [[3,1],[2,1,1]]と[[5,2]]であり、それ故に、それらの積は：

(C43) MULTSYM([[3,1],[2,1,1]],[[5,2]],2); (D43)/R/ [[10, 3, 1], [15, 3, 0], [15, 2, 1]] (* 訳者注： 原文の答は[[10, 3, 1], [15, 2, 1], [15, 3, 0]]と順番が違うが問題は無い。 *)

つまり、10*(x^3*y+y^3*x)+15*(x^2*y +y^2*x) +15(x^3+y^3)である。

対称多項式の表現を変更する関数は： CONTRACT, CONT2PART, EXPLOSE, PART2CONT, PARTPOL, TCONTRACT, TPARTPOL.

関数: ORBIT (P,lvar)

多項式Pの変数をリストlvar、作用をリストlvarに含まれる変数集合の対称群で 軌道を計算する。

(C44) orbit(A*X+B*Y,[X,Y]); (D44)/R/ [A Y + B X, B Y + A X] (C45) orbit(2*X+X^2,[X,Y]); 2 2 (D45)/R/ [Y + 2 Y, X + 2 X]

多項式上の対称群の積の作用に関してはMULTU_ORBITも参照せよ。

関数: PART2CONT (ppart,lvar)

分割の形式を対称式の縮約形式に変換する。縮約形式はlvarに含まれる変数で 返される。

(C46) PART2CONT([[2*a^3*b,4,1]],[x,y]); 3 4 (D46)/R/ 2 a b y x

表現を変更する他の関数は： CONTRACT, CONT2PART, EXPLOSE, PARTPOL, TCONTRACT, TPARTPOL.

関数: PARTPOL (psym, lvar)

psymはlvarに含まれる変数について対称式である。この関数はその分割表現を返す。

(C47) PARTPOL(-a*(x+y)+3*x*y,[x,y]); (D47)/R/ [[3, 1, 1], [- a, 1, 0]] (C48) PARTPOL(-a*(x+y)+3*x^2*y+3*x*y^2,[x,y]); (D48)/R/ [[3, 2, 1], [- a, 1, 0]]

表現を変更する他の関数は： CONTRACT, CONT2PART, EXPLOSE, PART2CONT, TCONTRACT, TPARTPOL.

関数: PERMUT (l)

リストlの置換のリストを返す。

関数: POLYNOME2ELE (p,x)

リストl=[n,e1,...,en]を返す。ここでnは多項式pの変数xでの次数、 eiはpの根のi番基本対称関数である。

(C49) POLYNOME2ELE(x^7-14*x^5 + 56*x^3 - 56*X + 22,x); (D49)/R/ [7, 0, - 14, 0, 56, 0, 0, 56 X - 22] (C50) ELE2POLYNOME( [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22],x); 7 5 3 (D50)/R/ x - 14 x + 56 x - 56 x + 22 (* 訳者注： 代数学の基本定理によって、実数係数の多項式はn個の解を持つ。ここで 根をa1,a2,..,anとすると多項式は(x-a1)*...*(x-an)に分解される。 この多項式を展開すると、今度は x^n-(-1)^n*(a1+a2+..+an)*x^(n-1)+(-1)^n*(a1*a2+...)*x^(n-2)+(-1)^n*a1*a2*..*an となる。i番目の基本対称式eiは、この多項式のx^(n-i)の係数になる。 この命令では単にその係数をリストで与えている。 *)

この逆変換はELE2POLYNOME(l,x)である。

関数: PRODRAC (L,K)

Lは集合A上の基本対称関数を含むリストである。PRODRACは多項式を返し、 その多項式の根はAの元であるKを生成するものである。

関数: PUI (pui,sym,lvar)

リストlvarに含まれる変数での対称式symをリストpuiに含まれる羃乗和関数に 分解する。もし、puiの第一元がアルファベットで表記されるものの基数で あったとすれば、多項式symの次数を取る。もし、リストpuiに対して値が 欠けていれば、形式的な値の"pi"が追加される。多項式symは以下の3個の 異った形式で与えられる事が可能である：縮約(デフォルト値で、PUIは値として 1を取る)、分割(PUIは値として3を取る)、そして面積(つまり、多項式そのまま) (PUIは値として2を取る)。関数ELEMも同様である。

(C10) PUI; (D10) 1 (C11) ratsimp(PUI([3,a,b],u*x*y*z,[x,y,z])); 3 (2 P3 - 3 a b + a ) u (D11) --------------------- 6

他の基底変換の関数は：

COMP2ELE, COMP2PUI, ELE2COMP, ELE2PUI, ELEM, MON2SCHUR, MULTI_ELEM, MULTI_PUI, PUI2COMP, PUI2ELE, PUIREDUC, SCHUR2COMP.

関数: PUI2COMP (N,LPUI)

リストLPUIで与えられた羃乗和関数に対して、N個の完全関数のリスト (先頭は基数)を返す。もし、LPUIが空であれば、基数はNとなり、 そうでなければ、先頭の要素はCOMP2ELEとCOMP2PUIと同じになる。

(C53) PUI2COMP(2,[]); 2 P1 + P2 (D53)/R/ [2, P1, --------] 2 (C54) PUI2COMP(3,[2,a1]); 2 3 A1 + P2 A1 + 3 P2 A1 + 2 P3 (D54)/R/ [2, A1, --------, --------------------] 2 6 (C55) ratsimp(PUI2COMP(3,[2,a1])); 2 3 P2 + A1 2 P3 + 3 A1 P2 + A1 (D55) [2, A1, --------, --------------------] 2 6

他の基底変換の関数は：

COMP2ELE, COMP2PUI, ELE2COMP, ELE2PUI, ELEM, MON2SCHUR, MULTI_ELEM, MULTI_PUI, PUI, PUI2ELE, PUIREDUC, SCHUR2COMP.

関数: PUI2ELE (N,LPUI)

羃乗和関数を基本対称関数に変換する。もし、フラグPUI2ELEがGIRARDであれば、 1からNまでの基本対称関数のリストを返し、フラグがCLOSEであれば、基本対称 関数は無い。

他の基底変換の関数は：

COMP2ELE, COMP2PUI, ELE2COMP, ELE2PUI, ELEM, MON2SCHUR, MULTI_ELEM, MULTI_PUI, PUI, PUI2COMP, PUIREDUC, SCHUR2COMP.

関数: PUI2POLYNOME (X,LPUI)

リストLPUIに含まれる根の羃乗和関数のXに於ける多項式を計算する。

(C56) polynome2ele(X^3-4*X^2+5*X-1,X); (D56)/R/ [3, 4, 5, 1] (C57) ele2pui(3,%); (D57)/R/ [3, 4, 6, 7] (C58) pui2polynome(X,%); 3 2 (D58)/R/ X - 4 X + 5 X - 1

他の参照すべき関数は： POLYNOME2ELE, ELE2POLYNOME.

関数: PUI_DIRECT (ORBITE,[lvar1,...,lvarn],[d1,d2,...,dn])

fを変数lvar1,...,lvarnのn個のブロックの多項式とする。ciをlvariに 含まれる変数の数とする。次にSCは次数c1,...,cnのn対称群の積とする。 この群はfに自然に作用する。リストORBITEは軌道であり、SC(f)はSCによる 関数fへの作用を現わす。(このリストは関数:MULTI_ORBITとともに使える。) diはc1<=d1,c2<=d2,...,cn<=dnを満す項である。それ故、SDは対称群の積 S_d1 x S_d2 x ... x S_dnとなる。

関数PUI_DIRECTはSC(F)の羃乗和関数を演繹したSD(f)のN個の羃乗和関数である。 ここでNはSD(f)の基数である。その結果はSDに対する比によって、多変数縮約 形式で返される。つまり、SDの作用による軌道で要素は保たれない。)

(C8) L:[[x,y],[a,b]]$ (C9) PUI_DIRECT(MULTI_ORBIT(a*x+b*y, L), L,[2,2]); 2 1 2 2 (D9)/R/ [x a, 4 b x a y + x a ] (C10) PUI_DIRECT(MULTI_ORBIT(a*x+b*y, L), L,[3,2]); 6 5 4 3 2 1 2 2 2 2 3 3 (D10)/R/ [2 x a, 4 b x a y + 2 x a , 3 b x a y + 2 x a , 2 2 2 2 3 3 4 4 12 b x a y + 4 b x a y + 2 x a , 2 3 3 2 4 4 5 5 10 b x a y + 5 b x a y + 2 x a , 3 3 3 3 2 4 4 2 5 5 6 6 40 b x a y + 15 b x a y + 6 b x a y + 2 x a ] (C11) PUI_DIRECT([y+x+2*c, y+x+2*b, y+x+2*a],[[x,y],[a,b,c]],[2,3]); 3 2 1 2 2 (D11)/R/ [3 x + 2 a, 6 x y + 3 x + 4 a x + 4 a , 2 3 2 2 3 (9 x + 12 a x) y + 3 x + 6 a x + 12 a x + 8 a ] (C12) PUI_DIRECT([y+x+2*c, y+x+2*b, y+x+2*a],[[x,y],[a,b,c]],[3,4]); (* 訳者注： (C12)の結果は長いので、非力な計算機では実行しない方が良いでしょう。 *)

関数: PUIREDUC (N,LPUI)

LPUIは一つのリストであり、その第一成分がMである。PUIREDUCはM次の関数 に対するN個の羃乗和関数を与える。

(C10) RATSIMP(PUIREDUC(3,[2])); 3 3 P1 P2 - P1 (D10) [2, P1, P2, -------------] 2

関数: RESOLVANTE (p,x,f,[x1,...,xd])

変数がxで次数n>=dの多項式pの終結式を関数fで計算する。 変換関数fで影響を与えないない変数のリスト[x1,...,xd]で設定しない 事が計算の効率を上げる為に重要である。 計算効率の向上の為に、変数RESOLVANTEに対するフラグを適切なアルゴリズム が使われる様に設定する事が可能である：

もし、関数fがunitaireであれば:

• 1変数の多項式,
• 線形、
• 交代式、
• 変数の和、
• その式に現われる変数に関して対称性を持つ 、
• 変数の積、
• Caylayの終結式関数(次数5で利用可能)

  (x1*x2+x2*x3+x3*x4+x4*x5+x5*x1 - (x1*x3+x3*x5+x5*x2+x2*x4+x4*x1))^2

  generale,

RESOLVANTEの取り得るフラグは：

• unitaire,
• lineaire,
• alternee,
• somme,
• produit,
• cayley,
• generale.

resolvante:unitaire; resolvante(x^7-14*x^5 + 56*x^3 - 56*X + 22,x,x^3-1,[x]); 7 6 5 4 3 2 Y + 7 Y - 539 Y - 1841 Y + 51443 Y + 315133 Y + 376999 Y + 125253 (* 訳者注： 私のmaxima-5.6環境では、Xを含む多項式となっている。結果を見ている とunitatireではXを1と置くらしいのだが、それが反映されていない。 *) (C15) resolvante : lineaire; (D15) LINEAIRE (C16) resolvante(x^4-1,x,x1+2*x2+3*x3,[x1,x2,x3]); " resolvante lineaire " 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 24 20 16 12 8 4 (D16)/R/ Y + 80 Y + 7520 Y + 1107200 Y + 49475840 Y + 344489984 Y + 655360000 resolvante : general; resolvante(x^4-1,x,x1+2*x2+3*x3,[x1,x2,x3]); resolvante(x^4-1,x,x1+2*x2+3*x3,[x1,x2,x3,x4]); direct([x^4-1],x,x1+2*x2+3*x3,[[x1,x2,x3]]); も同様である。 (C25) resolvante:lineaire$ (C26) resolvante(x^4-1,x,x1+x2+x3,[x1,x2,x3]); " resolvante lineaire " 4 3 2 1 4 (D26)/R/ Y - 1 (C27) resolvante:symetrique$ (C28) resolvante(x^4-1,x,x1+x2+x3,[x1,x2,x3]); " resolvante symetrique " 1 2 3 4 4 (D28)/R/ Y - 1 (C31) resolvante(x^4+x+1,x,x1-x2,[x1,x2]); " resolvante symetrique " 1 2 3 4 5 6 6 2 (D31)/R/ Y - 4 Y - 1 (C32) resolvante:alternee$ (C33) resolvante(x^4+x+1,x,x1-x2,[x1,x2]); " resolvante alternee " 12 10 8 6 4 2 12 8 6 4 2 (D33)/R/ Y + 8 Y + 26 Y - 112 Y + 216 Y + 229 (C34) resolvante:produit; (D34) PRODUIT (C35) resolvante(x^7-7*x+3,x,x1*x2*x3,[x1,x2,x3]); " resolvante produit " 35 33 29 28 27 26 24 (D35)/R/ Y - 7 Y - 1029 Y + 135 Y + 7203 Y - 756 Y + 1323 Y 23 22 21 20 19 18 + 352947 Y - 46305 Y - 2463339 Y + 324135 Y - 30618 Y - 453789 Y 17 15 14 12 11 - 40246444 Y + 282225202 Y - 44274492 Y + 155098503 Y + 12252303 Y 10 9 8 7 6 + 2893401 Y - 171532242 Y + 6751269 Y + 2657205 Y - 94517766 Y 5 3 - 3720087 Y + 26040609 Y + 14348907 (C36) resolvante:symetrique$ (C37) resolvante(x^7-7*x+3,x,x1*x2*x3,[x1,x2,x3]); " resolvante symetrique " 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 35 33 29 28 27 26 24 (D37)/R/ Y - 7 Y - 1029 Y + 135 Y + 7203 Y - 756 Y + 1323 Y 23 22 21 20 19 18 + 352947 Y - 46305 Y - 2463339 Y + 324135 Y - 30618 Y - 453789 Y 17 15 14 12 11 - 40246444 Y + 282225202 Y - 44274492 Y + 155098503 Y + 12252303 Y 10 9 8 7 6 + 2893401 Y - 171532242 Y + 6751269 Y + 2657205 Y - 94517766 Y 5 3 - 3720087 Y + 26040609 Y + 14348907 (C38) resolvante:cayley$ (C39) resolvante(x^5-4*x^2+x+1,x,a,[]); " resolvante de Cayley " ;; Loading file /usr/local/maxima/sym/resolcayley.lsp ... ;; Loading of file /usr/local/maxima/sym/resolcayley.lsp is finished. 6 5 4 3 2 (D39)/R/ X - 40 X + 4080 X - 92928 X + 3772160 X + 37880832 X + 93392896

Cayleyの終結式については、二つの最後の引数が中性で、与えられた 多項式はその次数が5である事がデフォルトとして必要である。

以下も参照せよ：

RESOLVANTE_BIPARTITE, RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE_UNITAIRE, RESOLVANTE_ALTERNEE1, RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE_KLEIN3, RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE_DIEDRALE.

関数: RESOLVANTE_ALTERNEE1 (p,x)

関数$\prod_{1\leq i<j\leq n-1} (x_i-x_j)$による次数nの多項式p(x) の変換を計算する。

以下も参照せよ：

RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE_UNITAIRE, RESOLVANTE , RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE_KLEIN3, RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE_DIEDRALE, RESOLVANTE_BIPARTITE.

関数: RESOLVANTE_BIPARTITE (p,x)

関数$x_1x_2\ldots x_{n/2}+x_{n/2+1}\ldotsx_n$による次数n(n個の対)の 関数p(x)の変換を計算する。

以下も参照せよ：

RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE_UNITAIRE, RESOLVANTE , RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE_KLEIN3, RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE_DIEDRALE,RESOLVANTE_ALTERNEE1

(C11) RESOLVANTE_BIPARTITE(x^6+108,x); 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 8 6 4 (D11) y - 972 y + 314928 y - 34012224 y

以下も参照せよ：

RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE_UNITAIRE, RESOLVANTE, RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE_KLEIN3, RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE_DIEDRALE, RESOLVANTE_ALTERNEE1.

関数: RESOLVANTE_DIEDRALE (p,x)

関数x_1x_2+x_3x_4によるp(x)の変換を計算する。

(C11) resolvante_diedrale(x^5-3*x^4+1,x); 15 12 11 10 9 8 7 6 (D11) x - 21 x - 81 x - 21 x + 207 x + 1134 x + 2331 x - 945 x 5 4 3 2 - 4970 x - 18333 x - 29079 x - 20745 x - 25326 x - 697

以下も参照せよ：

RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE_UNITAIRE, RESOLVANTE_ALTERNEE1, RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE_KLEIN3, RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE.

関数: RESOLVANTE_KLEIN (p,x)

関数x_1x_2_x4+x_4によるp(x)の変換を計算する。

以下も参照せよ：

RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE_UNITAIRE, RESOLVANTE_ALTERNEE1, RESOLVANTE, RESOLVANTE_KLEIN3, RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE_DIEDRALE.

関数: RESOLVANTE_KLEIN3 (p,x)

関数x_1x_2x_4+x_4によるp(x)の変換を計算する。

以下も参照せよ：

RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE_UNITAIRE, RESOLVANTE_ALTERNEE1, RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE, RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE_DIEDRALE.

関数: RESOLVANTE_PRODUIT_SYM (p,x)

多項式p(x)の生成する全ての終結式を計算する。

(C11) resolvante_produit_sym(x^5+3*x^4+2*x-1,x); 5 4 10 8 7 6 5 4 3 (D11) [Y + 3 Y + 2 Y - 1, Y - 2 Y - 21 Y - 31 Y - 14 Y - Y + 14 Y 2 10 8 7 6 5 4 3 2 + 3 Y + 1, Y + 3 Y + 14 Y - Y - 14 Y - 31 Y - 21 Y - 2 Y + 1, 5 4 Y - 2 Y - 3 Y - 1, Y - 1] (C12) resolvante:produit$ (C13) resolvante(x^5+3*x^4+2*x-1,x,a*b*c,[a,b,c]); " resolvante produit " 10 8 7 6 5 4 3 2 (D13) Y + 3 Y + 14 Y - Y - 14 Y - 31 Y - 21 Y - 2 Y + 1

以下も参照せよ：

RESOLVANTE, RESOLVANTE_UNITAIRE, RESOLVANTE_ALTERNEE1, RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE_KLEIN3, RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE_DIEDRALE.

関数: RESOLVANTE_UNITAIRE (p,q,x)

多項式q(x)による多項式p(x)の終結式を計算する。

以下も参照せよ：

RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE, RESOLVANTE_ALTERNEE1, RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE_KLEIN3, RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE_DIEDRALE.

関数: RESOLVANTE_VIERER (p,x)

関数x_1x_2-x_3x_4によるp(x)の変換を計算する。

以下も参照せよ：

RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE_UNITAIRE, RESOLVANTE_ALTERNEE1, RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE_KLEIN3, RESOLVANTE, RESOLVANTE_DIEDRALE.

関数: SCHUR2COMP (P,l_var)

: Pをリストl_varに含まれる変数での多項式とする。l_varの各変数は完全対称 関数を表現する。l_varでi番目の完全対称関数を文字hと添字iの結合:hiで 表現する。この関数はPのSchur関数による表現を与える。

SCHUR2COMP(h1*h2-h3,[h1,h2,h3]); s 1, 2 SCHUR2COMP(a*h3,[h3]); s a 3 (* 訳者注：maxima-5.6で動作せず。*)

関数: SOMRAC (liste,K)

listeは多項式Pの基本対称関数を含む。これは多項式を計算し、その多項式の根は Pの根と異なるKに対するKの和である。

PRODRACも参照せよ。

関数: TCONTRACT (pol,lvar)

多項式polがリストlvarに含まれる変数に於いて対称であるかどうか検証する。 対称式であれば、関数CONTRACTを用いて縮約した形式を返す。

(C32) TCONTRACT (2*x*y+(x+y)*z^2,[x,y]); 2 (D32) x z + 2 x y (C33) TCONTRACT (2*x*y+(x+y)*z^2,[x,y,z]); (D33) manque des monomes

他の表現を変更する関数は： CONTRACT, CONT2PART, EXPLOSE, PART2CONT, PARTPOL, TPARTPOL。

関数: TPARTPOL (pol,lvar)

多項式polがリストlvarに含まれる変数で対称であるかどうか検査する。 対称式であれば、関数PARTPOLを用いた分割形式を返す。

他の表現を変更する関数は： CONTRACT, CONT2PART, EXPLOSE, PART2CONT, PARTPOL, TCONTRACT.

関数: TREILLIS (n)

重みnの全ての分割を返す。

(C10) treillis(4); (D10) [[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]

LGTREILLIS, LTREILLISとTREINATも参照せよ。

関数: TREINAT

TREINAT(part) 自然な順序での分割partよりも小さな分割のリストを返す。

(C10) treinat([5]); (D10) [[5]] (C11) treinat([1,1,1,1,1]); (D11) [[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 1]] (C12) treinat([3,2]); (D12) [[5], [4, 1], [3, 2]] (* 訳者注： 通常の分割の順序と逆か？ *)

LGTREILLIS,LTREILLISとTREILLISも参照せよ。