| ■ 標準偏差 ■ |
練習問題の解説 SD_01 から SD_06
平均は５です
（連続する偶数個のサンプルの平均は中央の２数(４、６)の平均になります）
| 各サンプル | 2 | 4 | 6 | 8 |
| 平均との差 | −3 | −１ | 1 | 3 |
| 平均との差の２乗 | 9 | １ | 1 | 9 |
２乗和
９＋１＋１＋9＝2０
個数で割って（平均）
２０／４＝５
ルートでくくると
標準偏差＝(ルート５)
平均は、（(−４)＋(−２)＋３＋３＋５）／５＝５／５＝１
平均は１です
| 各サンプル | −４ | −２ | ３ | ３ | ５ |
| 平均との差 | −５ | −３ | ２ | ２ | ４ |
| 平均との差の２乗 | ２５ | ９ | ４ | ４ | １６ |
２乗和
２５＋９＋４＋４＋１６＝５８
個数で割って（平均）
５８／５
ルートでくくると
標準偏差＝(ルート(５８／５))
平均は、（(−２)＋(−２)＋(−２)＋６）／４＝０／４＝０
平均は０です
| 各サンプル | −2 | −２ | −２ | ６ |
| 平均との差 | −２ | −２ | −２ | ６ |
| 平均との差の２乗 | ４ | ４ | ４ | ３６ |
２乗和
４＋４＋４＋３６＝４８
個数で割って（平均）
４８／４＝１２
ルートでくくると
標準偏差＝(ルート１２)＝２(ルート３)
解説
この問題はほんとうはちょっとむずかしいんですよ
平均が０と指定されていたら楽なんですが（その場合には、ａ，ｂを
平均からもっとも遠い−２，２にすると、差が最大になるので標準偏差
も最大になります）
ａ，ｂの値で平均が動くので、その動いた場合にどうなるかが難しいんで
す。ここは直感で答えてください（いまは直感しかないです、たぶん）。
なんとなく、−２，２でいいのでは、と思えば正解です。
ばらつきですから、両端に離せばいい、という感覚でいいと思います。
（数式を展開していって私が確かめましたので公式的に考えていただ
いてけっこうです。この他にも２つしかサンプルが与えられていない
ときはその両端にその他のサンプルを２分して離すと(奇数個のとき
ははんぱになってもいいからできるだけ等分してください)標準偏差は
最大になります。感覚的には当り前ですね）
解説
こちらも同じようにむずかしいです
やはり、平均が０と指定されていたら楽なんですが（その場合には、ａ，
ｂを平均に等しい０、０にすると、差も０になるので最小になります）
こちらも、ａ，ｂの値で平均が動くので、その動いた場合にどうなるか
が難しいんです。やはり、直感で答えてください。
なんとなく、０、０でいいのでは、と思えば正解です。中心に集めれば
いいと思ってください
（これも数式を展開していって私が確かめましたので公式的に考えて
いただいてけっこうです。この他にも２つしかサンプルが与えられて
いないときはその中点にその他のサンプルを集中すると標準偏差は
最小になります。やはり感覚的には当り前ですね）
７個の数からなるグループＡと、７個の数からなるグループＢがある。
両グループの平均が同じならば、グループＡの標準偏差はグループＢ
の標準偏差よりも大きいか？
(1) グループＡの最大の数はグループＢの最大の数より大きい
(2) グループＡの最小の数はグループＢの最小の数より小さい
解説
(1)、(2) あわせてどうかという問題です。自分なりの具体例で考えて
ください。yes-noで答える問題だということも注意してください。
yesの状況（Ａ＞Ｂ）とnoの状況（Ａ＜Ｂ あるいは Ａ＝Ｂ）しかない
わけです。yes-noどちらか一方に固定できればSufficientです。
標準偏差に限りませんが、パズル的なyes-no問題では、２種類の状況
があって、一方に固定できるか、という趣旨のものが多くあります。
その場合には、まず第一印象で、思いついた方向（具体例）でyesかno
で答えておきます。
そして、その逆の状況（例外の状況）がありえるかを探すわけです。
あったらyes-no両者で答えられるので、答えの個数が２個になり、Not
Sufficientになります（データでは答えの個数が１個に限定できるとき
だけがSufficientです）。
『例外を探せるか』これが、パズル的なyes-no問題のテーマです。
本題を解いていきましょう
設問文と(1)、(2)をあわせると、Ａ、Ｂは、
個数は７個ずつ、平均は同じです
最大の数はＡのほうが大きく、
最小の数はＡのほうが小さいです
まず、第一印象ではＡのほうが拡がっています
たとえば、考えやすいように、０を平均としてプラスマイナスで
数値を対称にしますが、具体例としては
Ａ： -10 -9 -8 0 8 9 10
Ｂ： -3 -2 -1 0 1 2 3
この例は、設問文と(1)、(2)の条件をすべて満たします。
そして、標準偏差は、Ａ＞Ｂ です。
これは設問の疑問文に対して、yesです → 『まずyesがある』
ここでnoがあるか探しましょう。noはＢのほうがばらついている
ということです。
この問題は最大値と最小値しか限定がありません。自由度が大きい
わけです。極端な例を強引に作りましょう。最大値と最小値はＡに
まけるが、中味はＡよりばらついている、というＢです。たとえば
Ａ： -10 0 0 0 0 0 10
Ｂ： -9 -9 -9 0 9 9 9
こんなのはどうでしょう。見た目でもＢのほうが標準偏差が大き
そうですが、念のために求めてみると
平均からの差Ａ： -10 0 0 0 0 0 10
平均からの差Ｂ： -9 -9 -9 0 9 9 9
差の２乗Ａ： 100 0 0 0 0 0 100
差の２乗Ｂ： 81 81 81 0 81 81 81
ここでは、２乗和までは求めませんがＢの標準偏差のほうが大きい
ことがわかります。Ａ＜Ｂ なのでnoです。
noの例を見つけることができました。yesとnoの両者で答えられた
のでアウト（Not Sufficient）です。したがってこの問題はＥが
正解になります。
＊＊＊
条件を満たしながら、おもいっきり極端にする、というのがコツです。
また、０を平均とするサンプルは、各数値がそのまま平均との差にな
るので例を考えるときに便利です（各数値をそのまま２乗することが
できます）。
解説は終わりです。