標準偏差　－　計算

■公式

まずは公式から、、でも記号で書かれた公式で頭が混乱する場合には、
公式のすぐ後に簡単な数字を使った具体例がありますので、まずそちらを
ご覧ください。

標準偏差の公式：

■具体例

次は簡単な数字を使った具体例で標準偏差を求めてみましょう

たとえば、サンプルを、２、４、６、８、１０の５つとして、
まず平均を計算します

　　平均はひとめ６です（連続する奇数個の平均は中央の数になります）

（数値が複雑な場合はしっかり計算してください）
そして各サンプルと平均との差を求めます

　　各サンプル：　２、　４、６、８、１０
　　平均との差：－４、－２、０、２、４

平均との差を２乗します

　　平均との差の２乗：１６、４、０、４、１６

その総和を求めます

　　２乗の総和：１６＋４＋０＋４＋１６＝４０

それを個数で割ります。この例ではサンプルの個数は５個なので、

　　総和／個数＝４０／５＝８

それをルートでくくって終わりです

　　標準偏差＝(ルート８)＝２(ルート２)

■この公式で実際に計算するとき、間違いやすいのは、

（平均からの）差をとって、２乗する、という２段階の計算なので、
とくに、後者の２乗する計算を忘れやすい　→　注意
２乗和の平均を求める際、個数で割るが、この割り算を忘れやすい
ルートでくくるのは、分子だけでなく、分母を含めた全体　→　注意
平均を求める計算が２回あるので頭が混乱するかもしれません
（１回目：サンプルの平均、ここから差を求める。２回目：２乗和の平均）

■また、計算ですが、実際には次のような表で考えるといいでしょう

各サンプル	２	４	６	８	１０
平均との差	－４	－２	０	２	４
差の２乗	１６	４	０	４	１６

そして、

☆２乗をぜんぶ足す
　　　１６＋４＋０＋４＋１６＝４０

☆足したものを個数で割る　（この例では個数は５個）
　　　４０／５＝８

☆それをルートでくくる
　　　標準偏差＝(ルート８)＝２(ルート２)

■次の例にいきましょう

これも基本形で、
１、２、３、４、５、の標準偏差を求めてみましょう
紙とえんぴつを用意してまずやってみてください。

計算してみましょう
まず、平均は３です

各サンプル	１	２	３	４	５
平均との差	－２	－１	０	１	２
平均との差の２乗	４	１	０	１	４

２乗和
　　　４＋１＋０＋１＋４＝１０

個数で割って（平均）
　　　１０／５＝２

ルートでくくると
　　　標準偏差＝(ルート２)

■すこし番外編

もしもいまからのはなしで頭が混乱するようでしたら、続く
計算の部分（練習問題も含めて）だけをとにかく終わらせて
から戻ってきてください。

一番初めの例ですが、サンプルは、　２、４、６、８、１０、で
標準偏差は、２(ルート２)　でした。

また、次の例ではサンプルは、　１、２、３、４、５、で
標準偏差は、(ルート２)　でした。

表にすると

はじめのサンプル	２　４　６　８　１０
２番目のサンプル	１　２　３　４　５

２番目のそれぞれを２倍するとちょうど１番目になっています。
このとき標準偏差はどう変化するのでしょうか

はじめのサンプルの標準偏差	２（ルート２）
２番目のサンプルの標準偏差	（ルート２）

標準偏差も２倍になりました。

このように、各サンプルを２倍すると標準偏差も２倍になります。
また、各サンプルに同じ数（たとえば５）を足しても標準偏差は
変わりません（平均は変わります）。

この辺のはなしは公式としておぼえるよりは、自分が考えやすい
具体例（たとえば　１、２、３　とか　－１、０、１）を普段から
用意しておいて、２倍したり１足したりして、紙とえんぴつで慣れ
親しんでおくのがいいと思います。もしも、頭のなかでイメージで
きればすばらしいです。頭のなかでイメージするときのポイントは
平均からの差がどう変化するかを意識することです。

■標準偏差の計算に戻りましょう。今度はちょっと複雑ですよ

－５、－３、－１、－１、１、２、７、の標準偏差を求めてみましょう
また、計算してみてください。

計算してみましょう
まず、平均は、
（(－５)＋(－３)＋(－１)＋(－１)＋１＋２＋７）／７＝０／７＝０、
平均は０です

また、個数は７個です

各サンプル	－５	－３	－１	－１	１	２	７
平均との差	－５	－３	－１	－１	１	２	７
平均との差の２乗	２５	９	１	１	１	４	４９

２乗和
　　　２５＋９＋１＋１＋１＋４＋４９＝９０

個数で割って（平均）
　　　９０／７

ルートでくくると
　　　標準偏差＝(ルート(９０／７))

■上の計算でわかったことは、

平均からはなれた数が１つでもあると（最後の例の７）、差の２乗
がとても大きくなり、標準偏差も大きくなる　→　標準偏差が大き
い数（集合）を作りたいときは平均からはなした数を考える
逆に、平均から１しか離れていない数は、２乗しても１のままで
標準偏差を大きくする働きがとてもよわい　→　標準偏差が小さい
数（集合）を作りたいときは、平均に等しい数（差が０の数）を多く
する
平均が０になる例（総和がゼロ、つまり、マイナス側の和とプラス
側の和が等しい）は平均からの差がサンプルの数値自身になるため、
引き算の手間がなくなり、計算しやすい（サンプルの数をそのまま
２乗して計算できる）　→　自分で具体例を作るときは平均が０に
なる例がおすすめ（例、－２、－１、０、１、２）

などです。

■また、ルート計算の基本をすこしここで説明させてください